4) Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Доказать: B₁D и D₁C₁ — скрещивающиеся.

1. Прямая B₁D лежит в плоскости диагонального сечения (B₁D₁DB), а прямая D₁C₁ пересекает эту плоскость в точке D₁.
2. B₁D не проходит через D₁: это диагональ сечения, а D₁ — другая вершина сечения. Поэтому прямые B₁D и D₁C₁ не пересекаются.
3. Они не параллельны: D₁C₁ перпендикулярна плоскости передней грани, а B₁D не перпендикулярна этой плоскости (она пересекает её по диагонали D₁D под ненулевым углом к D₁C₁).
4. Следовательно, прямые не пересекаются и не параллельны, значит, они скрещивающиеся.

Ответ: B₁D и D₁C₁ — скрещивающиеся прямые.