4) Дано: AM = x+4, MB = x, KC = x-1, P = 78. Найти: x и стороны AB, BC, CA.

Решение:

В задачах, где касательная проведена из точки к окружности, отрезки касательных, исходящие из одной точки, равны.

Пусть точка касания на AB — M, на BC — K, на AC — P (в условии обозначена буква P, но на рисунке точка касания на AC не обозначена, предполагается, что AM = AP, MB = BK, KC = CP).

Из условия задачи имеем:

• AM = x + 4
• MB = x
• KC = x - 1

Тогда стороны треугольника равны:

• AB = AM + MB = (x + 4) + x = 2x + 4
• BC = BK + KC. Так как MB = BK, то BK = x. Следовательно, BC = x + (x - 1) = 2x - 1
• AC = AP + PC. Так как AM = AP, то AP = x + 4. Так как KC = CP, то CP = x - 1. Следовательно, AC = (x + 4) + (x - 1) = 2x + 3

Периметр треугольника P = AB + BC + AC = 78.

Составим и решим уравнение:

(2x + 4) + (2x - 1) + (2x + 3) = 78

6x + 6 = 78

6x = 78 - 6

6x = 72

x = \( \frac{72}{6} \)

x = 12

Теперь найдём длины сторон:

• AB = 2x + 4 = 2(12) + 4 = 24 + 4 = 28
• BC = 2x - 1 = 2(12) - 1 = 24 - 1 = 23
• AC = 2x + 3 = 2(12) + 3 = 24 + 3 = 27

Проверим периметр: 28 + 23 + 27 = 78. Верно.

Ответ: x = 12; AB = 28; BC = 23; CA = 27.