4) Дано: \( \triangle ABC \) — прямоугольный. \( \angle A = 30^{\circ} \), \( BC = 8 \). Найти: \( \vec{a} = \vec{AC} \).

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) катет \( BC \) противолежит углу \( \angle A \), а катет \( AC \) прилежит к этому углу.

Используем тангенс угла \( \angle A \):

\[ \tan A = \frac{BC}{AC} \]

\[ AC = \frac{BC}{\tan A} \]

\[ AC = \frac{8}{\tan 30^{\circ}} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8 \cdot \sqrt{3} \]

Длина вектора \( \vec{a} \) равна длине отрезка \( AC \).

Ответ: \( |\vec{a}| = 8\sqrt{3} \).