4. Даны точки A(0; 4; 0), B(2; 0; 0), C(4; 0; 4) и D(2; 4; 4). Докажите, что ABCD — ромб.

Вычислим векторы сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(2;−4;0),\quad \overrightarrow{BC}=(2;0;4),\quad \overrightarrow{CD}=(−2;4;0),\quad \overrightarrow{DA}=(−2;0;−4).\)

Найдём их длины:

\(|AB|=\sqrt{2^2+(−4)^2+0^2}=\sqrt{20};\quad |BC|=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20};\)

\(|CD|=\sqrt{(−2)^2+4^2+0^2}=\sqrt{20};\quad |DA|=\sqrt{(−2)^2+0^2+(−4)^2}=\sqrt{20}.\)

Все четыре стороны равны. Кроме того, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec0\) и \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\vec0\), поэтому противоположные стороны попарно параллельны и ABCD — параллелограмм. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом.

Следовательно, ABCD — ромб.