4*. Диагональ DB параллелограмма ABCD продолжена на равные отрезки BR и DS (см. рисунок). Докажите, что RASC также является параллелограммом.

Пусть диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(BO=DO\). По условию \(BR=DS\), причём точки \(R\) и \(S\) лежат на продолжениях диагонали \(DB\) в противоположные стороны. Следовательно, \(OR=OS\), то есть точка \(O\) является серединой отрезка \(RS\).

В параллелограмме также \(AO=OC\), поэтому точка \(O\) является серединой отрезка \(AC\). Значит, в четырёхугольнике \(RASC\) диагонали \(RS\) и \(AC\) пересекаются и делятся пополам.

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: \(RASC\) — параллелограмм.