Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Дано:
- Прямоугольник \( ABCD \).
- Диагональ \( AC \) образует с стороной \( AB \) угол \( ∠ CAB = 51^\circ \).
Найти:
- Острый угол между диагоналями.
Решение:
- В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей \( O \).
- \( AO = BO = CO = DO \).
- Рассмотрим треугольник \( AOB \). Он равнобедренный, так как \( AO = BO \).
- Угол \( ∠ AOB \) является одним из углов между диагоналями.
- В прямоугольнике \( ∠ ABC = 90^\circ \).
- В треугольнике \( ABC \): \( ∠ ACB = 180^\circ - 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ \).
- Так как \( AO = CO \), то \( ∠ BAC = ∠ BCA \) — это неверно.
- Рассмотрим треугольник \( AOB \). \( ∠ OAB = ∠ CAB = 51^\circ \).
- Так как \( AO = BO \), то \( ∠ OBA = ∠ OAB = 51^\circ \).
- Угол \( ∠ AOB \) = \( 180^\circ - (∠ OAB + ∠ OBA) = 180^\circ - (51^\circ + 51^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \).
- Этот угол является тупым углом между диагоналями. Острый угол между диагоналями будет смежным с ним.
- Однако, в условии сказано, что диагональ образует угол 51° с одной из его сторон. Пусть это будет сторона AB.
- Тогда \( ∠ CAB = 51^\circ \).
- В прямоугольном треугольнике \( ABC \): \( ∠ BCA = 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ \).
- Диагонали пересекаются в точке \( O \), причём \( AO = BO = CO = DO \).
- Рассмотрим треугольник \( AOB \). Он равнобедренный, \( AO = BO \). \( ∠ OAB = 51^\circ \). Тогда \( ∠ OBA = 51^\circ \). \( ∠ AOB = 180^\circ - (51^\circ + 51^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \).
- Рассмотрим треугольник \( BOC \). Он равнобедренный, \( BO = CO \). \( ∠ OBC = ∠ BCA = 39^\circ \). Тогда \( ∠ OCB = 39^\circ \). \( ∠ BOC = 180^\circ - (39^\circ + 39^\circ) = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ \).
- Углы \( ∠ AOB \) и \( ∠ BOC \) — смежные, их сумма равна \( 78^\circ + 102^\circ = 180^\circ \).
- Острый угол между диагоналями — это \( 78^\circ \).
Ответ: 78.
