4. Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AB = 12 см, ∠AOB = 60°. Найдите периметр прямоугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника ABCD.

Обозначим через E, F, G, H середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. В треугольнике AOB диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OB. Угол AOB равен 60°, значит треугольник AOB равносторонний.

2. Следовательно, OA = AB = 12 см. Диагональ AC равна 2OA = 24 см.

3. Пусть BC = x. По теореме Пифагора для прямоугольника: \(AC^2=AB^2+BC^2\), поэтому \(24^2=12^2+x^2\), откуда \(x=12\sqrt{3}\) см.

4. Четырёхугольник EFGH, образованный серединами сторон, — прямоугольник со сторонами, равными половинам диагоналей ABCD: \(EF=\frac{AC}{2}=12\) см и \(FG=\frac{BD}{2}=12\) см. Здесь AC = BD, поэтому EFGH — квадрат.

Его периметр: \(P=4\cdot12=48\) см.

Ответ: 48 см.