4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. P — середина OB, K — середина отрезка OD. Докажите, что APCK — параллелограмм.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC и OB = OD.

Так как P и K — середины OB и OD соответственно, OP = OB/2 и OK = OD/2. Из равенства OB = OD следует OP = OK. Точки P, O и K лежат на одной прямой, поэтому O — середина PK.

В четырёхугольнике APCK диагонали AC и PK пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Значит, APCK — параллелограмм.