4. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. ∠ABD = 54°. Найдите ∠COD и ∠AOD.

В прямоугольнике ∠ABC = 90°. Поэтому ∠CBD = 90° − ∠ABD = 90° − 54° = 36°.

Диагональ AC образует с AB такой же острый угол, как диагональ BD: это следует из равенства соответствующих углов при параллельных AB и CD и равенства углов прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника и диагональю. Угол между лучами OC и OD равен сумме этих двух острых углов: ∠COD = 36° + 36° = 72°.

Лучи OA и OC противоположны, поэтому ∠AOD и ∠COD — смежные углы. ∠AOD = 180° − 72° = 108°.

Ответ: ∠COD = 72°, ∠AOD = 108°.