6. Точки M и K — соответственно середины сторон AB и BC ромба ABCD. Докажите, что MD = KD.

Введём координаты ромба: A(0, 0), B(1, 0), D(u, v), C(1 + u, v), где AB = AD, поэтому u² + v² = 1.

Поскольку M — середина AB, M(1/2, 0). Поскольку K — середина BC, K(1 + u/2, v/2).

Тогда:

MD² = (u − 1/2)² + v² = u² − u + 1/4 + v² = 5/4 − u.

KD² = (u/2 − 1)² + (v/2)² = (u² + v²)/4 − u + 1 = 5/4 − u.

Следовательно, MD² = KD². Длины отрезков неотрицательны, значит MD = KD.