4. Диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника ABCDEF, равен 2√27. Найдите длину диагонали FD этого шестиугольника.

Радиус описанной окружности равен половине диаметра: \(R=\frac{2\sqrt{27}}{2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).

В правильном шестиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен \(60^\circ\). Вершины F и D разделены двумя сторонами, значит центральный угол, соответствующий хорде FD, равен \(120^\circ\).

Длина хорды: \(FD=2R\sin 60^\circ=2\cdot3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=9\).

Ответ: 9.