4. Длина биссектрисы, проведенной к стороне c треугольника со сторонами a, b и c, вычисляется по формуле \( l_c = \sqrt{ab(1 - (\frac{c}{a+b})^2)} \). Треугольник имеет стороны 9, 18 и 21. Найдите длину биссектрисы, проведённой к стороне длины 21.

Решение:

Дано: Треугольник со сторонами \( a = 9 \), \( b = 18 \), \( c = 21 \). Найти длину биссектрисы \( l_c \), проведённой к стороне \( c \).

Формула: \( l_c = \sqrt{ab\left(1 - \left(\frac{c}{a+b}\right)^2\right)} \).

1. Подставим значения сторон в формулу: \[ l_c = \sqrt{9 \cdot 18 \left(1 - \left(\frac{21}{9+18}\right)^2\right)} \]
2. Вычислим значение в скобках: \[ \frac{21}{9+18} = \frac{21}{27} = \frac{7}{9} \]
3. Возведем в квадрат: \[ \left(\frac{7}{9}\right)^2 = \frac{49}{81} \]
4. Вычислим выражение в скобках: \[ 1 - \frac{49}{81} = \frac{81 - 49}{81} = \frac{32}{81} \]
5. Вычислим произведение под корнем: \[ 9 \cdot 18 \cdot \frac{32}{81} = 162 \cdot \frac{32}{81} = 2 \cdot 32 = 64 \]
6. Найдем корень: \[ l_c = \sqrt{64} = 8 \]

Ответ: 8.