4. Для каждого натурального числа n найдите остаток при делении на 3 числа: а) n² + 5n; б) n² + 5.

При делении натурального числа \(n\) на 3 остаток может быть 0, 1 или 2.

а) \(n^2+5n=n(n+5)\). Если остаток \(n\) равен 0, получаем остаток 0; если 1 — \(1+5=6\), остаток 0; если 2 — \(4+10=14\), остаток 2.

б) Остаток \(n^2+5\) определяется остатком \(n\): при остатках 0, 1, 2 получаем соответственно \(5\), \(6\), \(9\), то есть остатки 2, 0, 0.

Ответ: а) возможны остатки 0 и 2; б) возможны остатки 0 и 2.