4. Доказать тождество: \(\frac{3}{2a-3}-\frac{8a^3-18a}{4a^2+9}\cdot\left(\frac{2a}{4a^2-12a+9}-\frac{3}{4a^2-9}\right)=-1\).

Разложим многочлены:

\[8a^3-18a=2a(4a^2-9)=2a(2a-3)(2a+3),\]

\[4a^2-12a+9=(2a-3)^2,\qquad 4a^2-9=(2a-3)(2a+3).\]

Преобразуем выражение в скобках:

\[\frac{2a}{(2a-3)^2}-\frac{3}{(2a-3)(2a+3)}\]

\[=\frac{2a(2a+3)-3(2a-3)}{(2a-3)^2(2a+3)}\]

\[=\frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)}.\]

Тогда произведение равно

\[\frac{2a(2a-3)(2a+3)}{4a^2+9}\cdot\frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)}=\frac{2a}{2a-3}.\]

Исходное выражение:

\[\frac{3}{2a-3}-\frac{2a}{2a-3}=\frac{3-2a}{2a-3}=-1.\]

Тождество доказано. ОДЗ: \(a\ne -\frac32,\frac32\).