4) Докажите, что ABCD — квадрат. Вариант Б1: A(−2; 0), B(2; 2), C(4; −2), D(0; −4). Вариант Б2: A(0; 4), B(4; 2), C(2; −2), D(−2; 0).

Вариант Б1. Вычислим векторы сторон: \(\overrightarrow{AB}=(4;2)\), \(\overrightarrow{BC}=(2;-4)\), \(\overrightarrow{CD}=(-4;-2)\), \(\overrightarrow{DA}=(-2;4)\). Квадраты длин всех сторон равны \(4^2+2^2=20\), поэтому все стороны равны. Кроме того, \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot2+2\cdot(-4)=0\), значит, соседние стороны перпендикулярны. Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом.

Вариант Б2. \(\overrightarrow{AB}=(4;-2)\), \(\overrightarrow{BC}=(-2;-4)\), \(\overrightarrow{CD}=(-4;2)\), \(\overrightarrow{DA}=(2;4)\). Квадраты длин всех сторон равны \(4^2+(-2)^2=20\). Соседние стороны перпендикулярны, поскольку \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot(-2)+(-2)\cdot(-4)=0\). Следовательно, ABCD — квадрат.