№ 4. Докажите, что ABCD — прямоугольник, если AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

Из указанных условий утверждение не следует: они позволяют заключить, что ABCD — параллелограмм, но не гарантируют прямые углы.

Действительно, так как AB ∥ CD, внутренние односторонние углы при секущей AD supplementary: ∠A + ∠D = 180°. При ∠A = ∠C отсюда ∠C + ∠D = 180°, поэтому AD ∥ BC. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Однако параллелограмм может не быть прямоугольником. Например, ромб с углами 60° и 120° удовлетворяет AB ∥ CD и ∠A = ∠C, но не является прямоугольником.

Ответ: доказать утверждение по данным условиям нельзя; необходимо дополнительное условие, например ∠A = 90°.