4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (−2; 1), B (1; 4), C (5; 0) и D (2; −3) является прямоугольником.

Найдём координаты сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(1-(-2);\,4-1)=(3;3)\), \(\overrightarrow{BC}=(5-1;\,0-4)=(4;-4)\).

\(\overrightarrow{CD}=(2-5;\,-3-0)=(-3;-3)=-\overrightarrow{AB}\), а \(\overrightarrow{DA}=(-2-2;\,1-(-3))=(-4;4)=-\overrightarrow{BC}\).

Значит, противоположные стороны попарно параллельны, поэтому ABCD — параллелограмм. Проверим перпендикулярность соседних сторон:

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=3\cdot4+3\cdot(-4)=0\).

У параллелограмма с прямым углом все углы прямые, следовательно, это прямоугольник.

Доказано: ABCD — прямоугольник.