4. Докажите, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

По рисунку диагональ DB делит угол D на углы 1 и 2, а угол B — на углы 3 и 4. Эти условия означают, что DB является биссектрисой обоих углов. Однако этого недостаточно, чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм: из условий следует, например, что AD = DC и AB = BC, но не следует, что противоположные стороны параллельны.

Контрпример: возьмём выпуклый ромб, отличный от квадрата, и проведём диагональ между его острыми углами. В ромбе диагональ биссектрисой делит оба этих угла пополам, так что ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4. Но это не доказывает требуемого заключения из одних лишь равенств углов: аналогичные условия выполняются и для невырожденного дельтоида, который не является параллелограммом.

Следовательно, утверждение в таком виде неверно; для доказательства нужны дополнительные условия, например равенство противоположных сторон или параллельность одной пары противоположных сторон.