4. Докажите, что числа 176 и 585 — взаимно простые.

Применим алгоритм Евклида:

\(585 = 176 \cdot 3 + 57\);
\(176 = 57 \cdot 3 + 5\);
\(57 = 5 \cdot 11 + 2\);
\(5 = 2 \cdot 2 + 1\);
\(2 = 1 \cdot 2 + 0\).

Последний ненулевой остаток равен 1, следовательно, \(\text{НОД}(176, 585) = 1\).

Ответ: числа 176 и 585 взаимно простые.