4. Докажите, что если $ab<0$, то имеет место неравенство $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите, что если $ab<0$, то имеет место неравенство $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2$.$ Фото задания

4. Докажите, что если $ab<0$, то имеет место неравенство $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2$.

Accepted Answer

Так как $ab<0$, числа $a$ и $b$ ненулевые и противоположных знаков. Поэтому $x=\frac{a}{b}<0$, а $\frac{b}{a}=\frac{1}{x}$.

Рассмотрим разность:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2=x+\frac{1}{x}+2=\frac{(x+1)^2}{x}$.

Числитель неотрицателен, а знаменатель отрицателен, следовательно, $\frac{(x+1)^2}{x}\le 0$. Значит, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\le 0$, откуда $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2$.

Ответ: неравенство доказано.

4. Докажите, что если \(ab<0\), то имеет место неравенство \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2\).

Ответ: