5. Докажите неравенство $\frac{x^2}{1+x^4}\le\frac{1}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите неравенство $\frac{x^2}{1+x^4}\le\frac{1}{2}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Для любого действительного $x$ знаменатель $1+x^4$ положителен. Поэтому можно умножить обе части неравенства на $2(1+x^4)>0$:

$\frac{x^2}{1+x^4}\le\frac{1}{2}\iff 2x^2\le 1+x^4$.

Перенесём всё в одну сторону и разложим на квадрат:

$1+x^4-2x^2=(x^2-1)^2\ge 0$.

Следовательно, исходное неравенство верно при всех действительных $x$. Равенство достигается при $x=\pm1$.

Ответ: неравенство доказано.

5. Докажите неравенство \(\frac{x^2}{1+x^4}\le\frac{1}{2}\).