4. Докажите, что параллелограмм ABCD — ромб. На рисунке диагонали AC и BD пересекаются в точке O; отмечены углы ∠CBD = 60° и ∠BCA = 30°.

Так как ABCD — параллелограмм, то AB ∥ CD и AD ∥ BC. Диагональ AC образует с параллельными сторонами AD и BC равные углы, поэтому ∠CAD = ∠BCA = 30°.

В треугольнике ABC диагональ AC делит угол при C: ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD. Из рисунка ∠BCA = 30°; при этом по параллельности AD ∥ BC имеем ∠ACD = ∠CAD = 30°. Следовательно, ∠BCD = 60°.

В треугольнике BCD отмечено ∠CBD = 60°, а ∠BCD = 60°, поэтому ∠BDC = 60°. Значит, треугольник BCD равносторонний и BC = CD.

Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом.

Ответ: ABCD — ромб.