4) Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4) Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители, учитывая условие $x\ne\pm2$:

$x^2-4=(x-2)(x+2)$, а $x^2-4x+4=(x-2)^2$.

Сложим дроби в скобках:

\[\frac{1}{(x-2)(x+2)}+\frac{1}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}.\]

Подставим результат в выражение:

\[\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x+2}=0.\]

Следовательно, выражение при всех допустимых значениях $x$ равно постоянному числу 0 и от $x$ не зависит.

4) Докажите, что при всех значениях \(x\ne\pm2\) значение выражения \(\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\) не зависит от \(x\).