4. Докажите, что треугольник KPF равнобедренный (рис. 282), если KM=KE и ∠MKF=∠EKP.

Точки \(E,P,F,M\) лежат на одной прямой. Так как \(KM=KE\), треугольник \(KME\) равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

\[\angle KME=\angle MEK.\]

Обозначим \(\angle MKF=\angle EKP=\alpha\), а углы при основании треугольника \(KME\) — \(\beta\).

В треугольнике \(KPE\):

\[\angle KPE=180^\circ-\alpha-\beta.\]

Так как лучи \(PE\) и \(PF\) — противоположные, то:

\[\angle KPF=180^\circ-\angle KPE=\alpha+\beta.\]

Аналогично, в треугольнике \(KFM\):

\[\angle KFM=180^\circ-\alpha-\beta,\]

и поскольку лучи \(FM\) и \(FP\) — противоположные, то:

\[\angle KFP=180^\circ-\angle KFM=\alpha+\beta.\]

Таким образом, \(\angle KPF=\angle KFP\). В треугольнике равным углам противолежат равные стороны, значит:

\[KP=KF.\]

Следовательно, треугольник \(KPF\) равнобедренный.