4. Докажите, что уравнение 4x⁶ − 2x⁵ + 7x⁴ − 3x³ + 5 = 0 не имеет отрицательных корней.

Пусть \(x<0\). Тогда чётные степени \(x^6\) и \(x^4\) положительны, а нечётные степени \(x^5\) и \(x^3\) отрицательны. Следовательно, \(-2x^5>0\) и \(-3x^3>0\).

Значит, при \(x<0\) каждое слагаемое в выражении \(4x^6-2x^5+7x^4-3x^3+5\) положительно, и всё выражение строго больше нуля. Оно не может равняться нулю.

Ответ: отрицательных корней уравнение не имеет.