4*. Докажите равенство двух равнобедренных треугольников по углу при основании и высоте, проведенной к основанию.

Рассмотрим два равнобедренных треугольника ABC и A'B'C' с основаниями AC и A'C' соответственно. Пусть ∠BAC = ∠B'A'C' (углы при основании равны) и BH = B'H' (высоты, проведенные к основаниям, равны).

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, AH = A'H' и ∠BHA = ∠B'H'A' = 90°.

По двум катетам и углу между ними (или по двум катетам и прилежащему острому углу, если рассматривать треугольники ABH и A'B'H'), треугольники ABH и A'B'H' равны. Следовательно, AB = A'B' и BH = B'H'. По двум сторонам и углу между ними (AB = A'B', ∠BAC = ∠B'A'C', BH = B'H' - это не угол между сторонами, а высота), или по двум сторонам и углу напротив одной из них (не подходит), или по двум сторонам и углу между ними (AB=A'B', AC=A'C', ∠BAC=∠B'A'C'), треугольники ABC и A'B'C' равны по первому признаку равенства треугольников. Доказано.