4. Докажите тождество $\frac{(m+n)^2-(m-n)(m+n)}{m^2n+n^2m}=\frac{2}{m}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите тождество $\frac{(m+n)^2-(m-n)(m+n)}{m^2n+n^2m}=\frac{2}{m}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатель на множители: $m^2n+n^2m=mn(m+n)$.

Вынесем общий множитель в числителе и упростим разность:

\[(m+n)^2-(m-n)(m+n)=(m+n)((m+n)-(m-n))=2n(m+n).\]

Подставим полученные выражения и сократим общие множители:

\[\frac{2n(m+n)}{mn(m+n)}=\frac{2}{m}.\]

При допустимых значениях переменных тождество доказано. Исходная дробь определена при $m\ne0$, $n\ne0$ и $m+n\ne0$.

4. Докажите тождество \(\frac{(m+n)^2-(m-n)(m+n)}{m^2n+n^2m}=\frac{2}{m}\).