4. Докажите тождество $\left(\frac{x^2-10x+25}{x^2-25}\right)^3:\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3\equiv1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите тождество $\left(\frac{x^2-10x+25}{x^2-25}\right)^3:\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3\equiv1$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим выражения на множители: $x^2-10x+25=(x-5)^2$, $x^2-25=(x-5)(x+5)$. При допустимых значениях $x\ne5$ и $x\ne-5$:

\[\left(\frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)}\right)^3:\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3=\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3:\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3=1.\]

Левая часть равна единице при всех значениях переменной, для которых исходное выражение определено.

4. Докажите тождество \(\left(\frac{x^2-10x+25}{x^2-25}\right)^3:\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3\equiv1\).