4. Дополнительная задача. AC и BD — диаметры двух окружностей с общим центром O. \(AC\perp BD\). Докажите, что A, B, C и D — вершины ромба.

Пусть радиусы окружностей равны \(r_1\) и \(r_2\). Так как \(AC\) и \(BD\) — диаметры, точка \(O\) является серединой обоих отрезков: \(OA=OC=r_1\), \(OB=OD=r_2\).

Диагонали \(AC\) и \(BD\) взаимно перпендикулярны, поэтому треугольники \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) и \(DOA\) прямоугольные. По теореме Пифагора длина каждой стороны четырёхугольника равна \(\sqrt{r_1^2+r_2^2}\). Следовательно, \(AB=BC=CD=DA\).

Четырёхугольник, у которого все стороны равны, — ромб. Значит, A, B, C и D являются вершинами ромба.