4. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.

Решение:

1. Обозначим переменные: Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (км/ч), Пусть \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч). Расстояние \( S = 560 \) км.
2. Составим уравнения по условию: \( v_1 = v_2 + 10 \) (скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго) \( t_1 = \frac{S}{v_1} \) (время первого автомобиля) \( t_2 = \frac{S}{v_2} \) (время второго автомобиля) \( t_2 - t_1 = 1 \) (первый приезжает на 1 ч раньше второго)
3. Подставим выражения для времени: \( \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_1} = 1 \)
4. Подставим \( v_1 = v_2 + 10 \) в уравнение: \( \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2+10} = 1 \)
5. Приведем к общему знаменателю и решим квадратное уравнение: \( 560(v_2+10) - 560v_2 = v_2(v_2+10) \) \( 560v_2 + 5600 - 560v_2 = v_2^2 + 10v_2 \) \( 5600 = v_2^2 + 10v_2 \) \( v_2^2 + 10v_2 - 5600 = 0 \)
6. Найдем дискриминант: \( D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500 \) \( \sqrt{D} = 150 \)
7. Найдем \( v_2 \): \( v_2 = \frac{-10 \pm 150}{2} \) \( v_2 = \frac{140}{2} = 70 \) (так как скорость не может быть отрицательной)
8. Найдем \( v_1 \): \( v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \)

Ответ: Скорость первого автомобиля — 80 км/ч, скорость второго автомобиля — 70 км/ч.