4. Две окружности касаются в точке Д. Угол между диаметром FD и хордой FE меньшей окружности равен 20°. Найдите градусную меру угла в.

Решение:

Рассмотрим меньшую окружность с центром \( O_1 \).

\( FD \) — диаметр, \( FE \) — хорда. Угол \( ∠ EFD = 20° \).

Угол \( ∠ FED \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр \( FD \), значит, \( ∠ FED = 90° \).

В треугольнике \( ∆ EFD \): \( ∠ FDE = 180° - 90° - 20° = 70° \).

Угол \( ∠ FDE \) — вписанный угол в большей окружности, он опирается на дугу \( FA \).

Большая дуга \( FA = 2 × ∠ FDE = 2 × 70° = 140° \).

Угол \( ∠ FOB \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( FB \).

Рассмотрим угол \( ∠ DFA \) из большего круга. Мы не знаем, является ли \( FD \) диаметром и в большей окружности.

Согласно рисунку, \( FD \) является диаметром для меньшей окружности. \( F \) и \( D \) лежат на большой окружности. \( A \) и \( C \) лежат на большой окружности. \( E \) и \( D \) лежат на малой окружности. \( F \) и \( E \) лежат на малой окружности.

Точка \( D \) — точка касания двух окружностей.

Угол \( ∠ FDE = 70° \) как мы уже нашли.

Угол \( ∠ FAE \) — вписанный в большую окружность, опирается на дугу \( FE \). Дуга \( FE \) в меньшей окружности равна \( 180° - 90° - 20° = 70° \) (угол \( ∠ FDE \) не опирается на дугу \( FE \) в маленьком круге).

Угол \( ∠ FDE = 70° \) — это угол вписанный в БОЛЬШУЮ окружность, он опирается на дугу \( FA \).

Значит, дуга \( FA \) = \( 2 × 70° = 140° \).

\( FD \) — диаметр большей окружности. Дуга \( FA \) + дуга \( AC \) + дуга \( CB \) = 180° (если \( D \) на одной стороне от \( AC \)).

Нам дан угол \( ∠ EFD = 20° \).

\( ∠ FDE = 70° \).

Рассмотрим вписанный угол \( ∠ FAB \) в большой окружности. Он опирается на дугу \( FB \).

Угол \( ∠ FDE = 70° \) — вписанный угол в большой окружности, опирается на дугу \( FA \).

Рассмотрим угол \( ∠ FBE \) в большей окружности. Он опирается на дугу \( FE \).

Угол \( ∠ FAE \) в большей окружности опирается на дугу \( FE \).

Угол \( ∠ FDE = 70° \) опирается на дугу \( FA \). Значит, дуга \( FA = 140° \).

Угол \( ∠ FOB \) — центральный угол, который равен дуге \( FB \).

\( ∠ \beta \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( FA \).

\( ∠ FAB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( FB \).

Угол \( ∠ FDE = 70° \). В большой окружности, угол \( ∠ FAB \) тоже опирается на дугу \( FB \).

Дуга \( FA = 140° \). Дуга \( AB = 180° \).

Тогда дуга \( FB = 180° - 140° = 40° \).

\( ∠ \beta \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( FA \).

\( ∠ \beta = \frac{1}{2} × \text{дуга } FA = \frac{1}{2} × 140° = 70° \).

Ответ: 70°.