4. Если sin α = 1/2, то

Привет! Давай разберемся с тригонометрией.

Дано:

• \[ \sin \alpha = \frac{1}{2} \]

Найти: Значение cos α и tg α.

Решение:

Известно, что для любого угла
\(\alpha\)
верно основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим значение sin α:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{1}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \]

Выразим cos² α:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} \]

\[ \cos^2 \alpha = \frac{3}{4} \]

Теперь найдем cos α, взяв квадратный корень:

\[ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Значение cos α может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от того, в какой четверти находится угол α. В школьном курсе обычно рассматривают острые углы (первая четверть), где косинус положителен.

Теперь найдем tg α. Мы знаем, что:

\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

Если предположить, что cos α = √3 / 2 (положительное значение):

\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √3:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Если же cos α = -√3 / 2:

\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Судя по вариантам ответов, наиболее вероятны случаи, когда sin α = 1/2 соответствует углу α = 30° (или π/6 радиан). Для этого угла:

• \[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
• \[ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
• \[ \operatorname{tg} 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Следовательно, если sin α = 1/2, то cos α = √3/2 и tg α = √3/3.

Ответ: cos α = √3/2, tg α = √3/3