4. \(\frac{x+6}{x-4}+\frac{50}{(x-4)(x-9)}=\frac{9+x}{9-x}\)

ОДЗ: \(x\ne4\), \(x\ne9\).

Умножим обе части на \((x-4)(x-9)\). Справа используем равенство \(9-x=-(x-9)\):

\((x+6)(x-9)+50=-(x+9)(x-4)\).

Раскроем скобки и приведём подобные:

\(x^2-3x-4=-x^2-5x+36\),
\(2x^2+2x-40=0\),
\(x^2+x-20=0\),
\((x+5)(x-4)=0\).

Получаем \(x=-5\) или \(x=4\). Значение \(4\) исключено из ОДЗ.

Ответ: \(x=-5\).