4. \(\int_0^1 (4x^3+1)\,dx\)

Первообразная подынтегральной функции: \(x^4+x\).

Вычислим определённый интеграл: \(\int_0^1 (4x^3+1)\,dx = [x^4+x]_0^1 = (1^4+1)-(0^4+0)=2\).

Ответ: 2.