4) Из двух городов, расстояние между которыми 420 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобилиста. Скорость первого автомобилиста 60 км/ч, что составляет 3/4 скорости второго. Через сколько времени произойдет встреча? Какое расстояние будет между ними через 0,5 часа после начала движения?

Решение:

1. Найдём скорость второго автомобилиста:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобилиста, \( v_2 \) — скорость второго автомобилиста.

Из условия известно, что \( v_1 = 60 \text{ км/ч} \) и \( v_1 = \frac{3}{4} v_2 \).

Тогда \( v_2 = v_1 : \frac{3}{4} = 60 : \frac{3}{4} = 60 \cdot \frac{4}{3} = 80 \text{ км/ч} \).

2. Найдём скорость сближения автомобилистов:

Скорость сближения равна сумме их скоростей, так как они движутся навстречу друг другу: \( v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2 = 60 + 80 = 140 \text{ км/ч} \).

3. Найдём время до встречи:

Время до встречи равно расстоянию между городами, делённому на скорость сближения: \( t_{\text{встр}} = \frac{S}{v_{\text{сбл}}} = \frac{420 \text{ км}}{140 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа} \).

4. Найдём расстояние между автомобилистами через 0,5 часа:

За 0,5 часа первый автомобилист проедет: \( S_1 = v_1 \cdot t = 60 \text{ км/ч} \cdot 0,5 \text{ ч} = 30 \text{ км} \).

За 0,5 часа второй автомобилист проедет: \( S_2 = v_2 \cdot t = 80 \text{ км/ч} \cdot 0,5 \text{ ч} = 40 \text{ км} \).

Общее расстояние, которое они преодолеют вместе за 0,5 часа: \( S_{\text{преодол}} = S_1 + S_2 = 30 + 40 = 70 \text{ км} \).

Расстояние, которое останется между ними через 0,5 часа: \( S_{\text{ост}} = S - S_{\text{преодол}} = 420 - 70 = 350 \text{ км} \).

Ответ: Встреча произойдёт через 3 часа. Через 0,5 часа между ними будет 350 км.