4. Из поселка на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

Решение:

Дано:

• Расстояние между поселком и станцией: \( S = 32 \) км.
• Время до выезда мотоциклиста: \( t_{в\text{_}} = 0.5 \) ч.
• Время до встречи после выезда мотоциклиста: \( t_{в\text{_}} = 0.5 \) ч.
• Разница скоростей: \( v_{м} - v_{в} = 28 \) км/ч.

Найти: \( v_{в} \), \( v_{м} \).

Решение:

1. Обозначим скорость велосипедиста как \( v_{в} \) км/ч.
2. Тогда скорость мотоциклиста \( v_{м} = v_{в} + 28 \) км/ч.
3. За 0.5 часа до выезда мотоциклиста велосипедист проехал: \( S_{в1} = v_{в} \times 0.5 \) км.
4. Оставшееся расстояние между ними, когда выехал мотоциклист: \( S_{ост} = 32 - 0.5v_{в} \) км.
5. Велосипедист и мотоциклист ехали навстречу друг другу 0.5 часа до встречи. За это время они вместе проехали оставшееся расстояние: \( (v_{в} + v_{м}) \times 0.5 = S_{ост} \).
6. Подставим выражения для \( v_{м} \) и \( S_{ост} \): \( (v_{в} + (v_{в} + 28)) \times 0.5 = 32 - 0.5v_{в} \).
7. Упростим уравнение: \( (2v_{в} + 28) \times 0.5 = 32 - 0.5v_{в} \).
8. \( v_{в} + 14 = 32 - 0.5v_{в} \).
9. Перенесем члены с \( v_{в} \) в левую часть, а числа — в правую: \( v_{в} + 0.5v_{в} = 32 - 14 \).
10. \( 1.5v_{в} = 18 \).
11. Найдем скорость велосипедиста: \( v_{в} = \frac{18}{1.5} = 12 \) км/ч.
12. Найдем скорость мотоциклиста: \( v_{м} = v_{в} + 28 = 12 + 28 = 40 \) км/ч.

Проверка:

Расстояние, пройденное велосипедистом за 0.5 ч: \( 12 \times 0.5 = 6 \) км.

Оставшееся расстояние: \( 32 - 6 = 26 \) км.

Скорость сближения: \( 12 + 40 = 52 \) км/ч.

Время до встречи: \( 26 / 52 = 0.5 \) ч. Все верно.

Ответ: Скорость велосипедиста 12 км/ч, скорость мотоциклиста 40 км/ч.