4. Из точки А проведены две касательные АВ и АС к окружности с центром О. В и С — точки касания. Докажите, что АВ = АС.

Дано:

• Из точки А проведены касательные AB и AC к окружности с центром O.
• B и C — точки касания.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AOB и AOC.
2. OB = OC (радиусы окружности).
3. AO — общая гипотенуза для обоих треугольников.
4. Так как AB и AC — касательные, то радиусы OB и OC перпендикулярны касательным в точках касания, следовательно, ∠ABO = ∠ACO = 90°.
5. Треугольники AOB и AOC являются прямоугольными.
6. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике:
   • В треугольнике AOB: AB² + OB² = AO² => AB² = AO² - OB²
   • В треугольнике AOC: AC² + OC² = AO² => AC² = AO² - OC²
7. Так как OB = OC (радиусы), то AO² - OB² = AO² - OC².
8. Следовательно, AB² = AC², а значит AB = AC.
9. Альтернативное доказательство (по признаку равенства прямоугольных треугольников):
   • AO — общая гипотенуза.
   • OB = OC — равные катеты.
   • Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику AOC по гипотенузе и катету.
10. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = AC.

Что и требовалось доказать.