4. Из точки А вне окружности проведена касательная АВ (В - точка касания) и секущая AD. Точки С и D лежат на окружности, причём точка с лежит на отрезке AD. Найдите длину отрезка АС, если CD=5, а длина отрезка касательной равна 6.

По теореме о касательной и секущей: AB² = AC * AD.

AD = AC + CD = AC + 5.

Подставим значения: 6² = AC * (AC + 5).

36 = AC² + 5AC.

Уравнение: AC² + 5AC - 36 = 0.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = 5² - 4 * 1 * (-36) = 25 + 144 = 169.

AC = (-5 ± √169) / 2 = (-5 ± 13) / 2.

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, AC = (-5 + 13) / 2 = 8 / 2 = 4 см.