4. Из точки вне окружности к окружности проведены две касательные. Определите, является ли угол между ними острым, прямым или тупым, если угол между радиусами, проведенными в точки касания, тупой.

Анализ:

Рассмотрим четырехугольник, образованный точкой вне окружности, центром окружности и точками касания. Две стороны этого четырехугольника – это радиусы, проведенные к точкам касания, и они перпендикулярны касательным. Следовательно, два угла этого четырехугольника – прямые (по 90°).

Сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

Пусть угол между радиусами (центральный угол) равен β. Угол между касательными (угол при внешней точке) равен γ.

Тогда: 90° + 90° + β + γ = 360°

180° + β + γ = 360°

β + γ = 180°

В условии сказано, что угол между радиусами (β) – тупой. Это значит, что β > 90°.

Из равенства β + γ = 180° следует, что γ = 180° - β.

Если β > 90°, то 180° - β < 90°. Следовательно, угол γ будет острым.

Ответ: Острым.