4. Из вершины тупого угла B ромба ABCD проведена высота BK к стороне AD. Угол KBD равен 15°. Найти высоту BK, если периметр ромба равен 32 см.

Сторона ромба равна \(32:4=8\) см. Так как \(BK\perp AD\), треугольник \(BKD\) прямоугольный; при этом \(\angle KBD=15°\), поэтому \(\angle BDK=75°\).

Точка \(K\) лежит на стороне \(AD\), следовательно, \(\angle BDA=75°\). В треугольнике \(ABD\) стороны \(AB=AD=8\) см, значит, углы при основании равны: \(\angle ABD=\angle BDA=75°\), а \(\angle BAD=30°\).

Высота ромба к стороне \(AD\) равна \(BK=AB\sin\angle BAD=8\sin30°=4\) см.

Ответ: 4 см.