4. Известно, что \(64x^2+\frac{1}{x^2}=65\). Найдите значение выражения \(8x+\frac{1}{x}\).

Возведём искомое выражение в квадрат:

\(\left(8x+\frac{1}{x}\right)^2=64x^2+16+\frac{1}{x^2}.\)

Подставим данное значение:

\(\left(8x+\frac{1}{x}\right)^2=65+16=81.\)

Следовательно, выражение может равняться как \(9\), так и \(-9\). Оба значения возможны: исходное условие допускает как положительные, так и отрицательные \(x\).

Ответ: \(\pm9\).