4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что $ \angle EMK = \angle FMK $.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что $ \angle EMK = \angle FMK $.$ Фото задания

4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что $ \angle EMK = \angle FMK $.

Accepted Answer

Решение:

У нас есть треугольник EFC. Точки E и F соединены с точкой M. Точка K находится на отрезке EF.

Из условия задачи известно, что:

1. $ EK = FK $

2. $ EC = FC $

Рассмотрим треугольник EFC. Так как $ EC = FC $, то треугольник EFC — равнобедренный.

Так как $ EK = FK $, то K — середина отрезка EF.

В равнобедренном треугольнике EFC, отрезок CK является медианой к основанию EF. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой.

Следовательно, $ \angle ECK = \angle FCK $ и $ \angle EKF = \angle FK E $ (что очевидно, т.к. это прямой угол 90 градусов).

Теперь рассмотрим треугольники EMC и FMC. Нам нужно доказать, что $ \angle EMK = \angle FMK $. Это означает, что отрезок MK является биссектрисой угла $ \angle EMF $.

Рассмотрим треугольники EMK и FMK.

У нас есть:

1. $ EK = FK $ (дано).

2. $ MK $ — общая сторона.

3. $ \angle EKM = \angle FKM $ — это не обязательно прямые углы. Это могут быть смежные углы, если M лежит на прямой EF, но по рисунку это не так.

Если бы мы знали, что $ \triangle EMC = \triangle FMC $, то $ \angle EMK = \angle FMK $. Но для равенства этих треугольников нам нужно больше информации.

Давайте рассмотрим треугольники EMC и FMC.

У нас есть $ EC = FC $ и $ MC $ — общая сторона.

Если мы докажем, что $ \triangle EMC = \triangle FMC $, то $ EM = FM $ и $ \angle EMC = \angle FMC $.

Попробуем доказать равенство $ \triangle EMC $ и $ \triangle FMC $ по трём сторонам: $ EC = FC $ (дано), $ MC $ — общая. Нам нужно $ EM = FM $.

Вернёмся к $ EK = FK $ и $ EC = FC $.

Рассмотрим треугольник EFC. Он равнобедренный, $ EC = FC $. K — середина EF, и CK — медиана. CK также является биссектрисой $ \angle ECF $ и высотой к EF.

Теперь рассмотрим точки M, K, C. Они лежат на одной прямой.

Пусть $ MC $ — это прямая, проходящая через M, K, C.

Поскольку $ \triangle EFC $ — равнобедренный и $ CK $ — биссектриса $ \angle ECF $, то $ CK $ является осью симметрии для углов $ \angle ECF $.

Если точка M лежит на прямой CK, то MKC — это одна прямая.

У нас есть:

$ EK = FK $

$ EC = FC $

$ MK $ — общая сторона в $ \triangle EMK $ и $ \triangle FMK $.

Если $ \triangle EMC = \triangle FMC $ (по трём сторонам, если $ EM=FM $), то $ \angle EMC = \angle FMC $.

Рассмотрим треугольники EMK и FMK.

$ EK = FK $

$ MK $ — общая.

Если $ \angle EKM = \angle FKM $, то $ \triangle EMK = \triangle FMK $ по первому признаку. Но $ \angle EKM $ и $ \angle FKM $ — смежные, их сумма 180 градусов. Равны они только если 90 градусов.

Так как $ EK = FK $ и $ EC = FC $, то треугольники EFC и EMF (если M лежит на прямой CK) симметричны относительно прямой CK. В частности, $ \triangle EFC $ симметричен $ \triangle EFC $.

Если $ \angle EKF = \angle FK E $ (180 градусов), то $ \angle EKM + \angle MKF = 180 $.

В равнобедренном $ \triangle EFC $ с $ EC=FC $ и $ EK=FK $, отрезок CK является осью симметрии. Точка M лежит на этой оси симметрии (прямая CK).

Если $ M $ лежит на прямой $ CK $, то $ \triangle EMF $ также симметричен относительно прямой $ CK $.

Следовательно, $ EM = FM $ и $ \angle EMK = \angle FMK $.

Доказано.

4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что \( \angle EMK = \angle FMK \).

Ответ:

Решение: