4. Известно, что около четырёхугольника MBKD можно описать окружность и что продолжения сторон MD и BK четырёхугольника пересекаются в точке R. Докажите, что треугольники RMB и RKD подобны.

Так как прямые MD и BK пересекаются в точке R, углы \(MRB\) и \(KRD\) — вертикальные, следовательно, они равны.

Для циклического четырёхугольника MBKD углы \(DMB\) и \(DKB\) опираются на хорду DB и являются дополнительными. С учётом того, что RM лежит на MD, а лучи RK и KB направлены в противоположные стороны, получаем \(\angle RMB=\angle RKD\).

Следовательно, два угла одного треугольника равны двум углам другого, поэтому \(\triangle RMB\sim\triangle RKD\).