5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке X. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 12, а расстояние от точки X до стороны AB равно 8.

Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны, поскольку эти углы в сумме составляют \(180^\circ\). Значит, треугольник ABX прямоугольный, причём AB — его гипотенуза.

Обозначим \(\angle DAB=\alpha\). Тогда \(\angle BAX=\frac{\alpha}{2}\). Высота треугольника ABX, опущенная из X на AB, равна 8, поэтому

\(8=AB\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{AB\sin\alpha}{2}\).

Площадь параллелограмма равна произведению AB на высоту к этой стороне. Так как \(BC=12\), эта высота равна \(BC\sin\alpha\). Следовательно,

\(S=AB\cdot BC\sin\alpha=12\cdot 2\cdot 8=192\).

Ответ: 192.