4) Известно до 400 различных доказательств теоремы Пифагора. Докажите теорему, используя рисунок справа.

Обозначим катеты каждого из четырёх прямоугольных треугольников на рисунке через a и b, а гипотенузу — через c.

1. Сторона внешнего квадрата равна a + b, поэтому его площадь равна (a + b)².
2. Внешний квадрат состоит из внутреннего квадрата площадью c² и четырёх прямоугольных треугольников. Площадь каждого треугольника равна ab/2.
3. Приравняем площади: (a + b)² = c² + 4 · ab/2.
4. Раскроем скобки и упростим: a² + 2ab + b² = c² + 2ab, откуда c² = a² + b².

Теорема Пифагора доказана: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.