5) При помощи каких натуральных чисел можно выразить катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна √50? Сколько возможных способов существует?

Пусть катеты — натуральные числа a и b. По теореме Пифагора a² + b² = (√50)² = 50.

1. Квадраты натуральных чисел, не превосходящие 50: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.
2. Сумму 50 дают только 1 + 49 и 25 + 25.
3. Значит, неупорядоченные пары катетов: (1, 7) и (5, 5). Если различать порядок катетов, получаются (1, 7), (7, 1) и (5, 5).

Ответ: катеты 1 и 7 либо 5 и 5; всего 2 способа, если порядок катетов не различать (3 упорядоченных варианта).