4. Известны координаты вершин треугольника CPM: C(1; 1), P(3; −1), M(7; 3). Определите косинус меньшего угла треугольника.

1. Найдём квадраты длин сторон: \(|CP|^2=(3-1)^2+(-1-1)^2=8\), \(|PM|^2=(7-3)^2+(3-(-1))^2=32\), \(|CM|^2=(7-1)^2+(3-1)^2=40\).
2. Сравним стороны: наименьшая сторона — \(CP\), поэтому меньший угол лежит напротив неё, то есть это угол \(CMP\).
3. Для угла при M возьмём векторы \(\overrightarrow{MC}=(-6;-2)\) и \(\overrightarrow{MP}=(-4;-4)\). Их скалярное произведение равно \(24+8=32\).
4. Длины векторов равны \(|MC|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) и \(|MP|=\sqrt{32}=4\sqrt2\). Следовательно, \(\cos\angle CMP=\frac{32}{(2\sqrt{10})(4\sqrt2)}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}\).

Ответ: косинус меньшего угла равен \(\frac{2\sqrt5}{5}\).