4. Известны координаты вершин треугольника CPM: C(−2; 8), P(6; 2), M(2; −6). Определите косинус меньшего угла треугольника.

Сравним длины сторон по квадратам:

\(CP^2=(6-(-2))^2+(2-8)^2=8^2+(-6)^2=100\).

\(PM^2=(2-6)^2+(-6-2)^2=(-4)^2+(-8)^2=80\).

\(MC^2=(-2-2)^2+(8-(-6))^2=(-4)^2+14^2=212\).

Наименьшая сторона — \(PM\), значит, наименьший угол лежит напротив неё, при вершине \(C\).

\(\overrightarrow{CP}=(8;-6)\), \(\overrightarrow{CM}=(4;-14)\). Тогда

\(\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CM}=8\cdot4+(-6)\cdot(-14)=116\),
\(|CP|=10\), \(|CM|=\sqrt{212}=2\sqrt{53}\).

\(\cos C=\dfrac{\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CM}}{|CP|\,|CM|}=\dfrac{116}{20\sqrt{53}}=\dfrac{29}{5\sqrt{53}}\).

Ответ: \(\dfrac{29}{5\sqrt{53}}\).