4. Какую цифру следует поставить вместо ☐ в число 6□781, чтобы полученное число делилось на 6?

Решение:

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться и на 2, и на 3 одновременно.

1. Признак делимости на 2: Число делится на 2, если оно чётное. Значит, последняя цифра числа должна быть 0, 2, 4, 6 или 8. В нашем случае последняя цифра — 1, поэтому число нечётное и не делится на 2. Это означает, что в условии задачи, вероятно, ошибка, и число должно быть 6□782 или 6□780. Предположим, что последняя цифра верная (1), и задача в другой формулировке. Если же мы должны поставить цифру вместо □, то число будет 6X781.
2. Признак делимости на 3: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Вариант 1 (Если последняя цифра 1):

Число 6□781 не может делиться на 6, так как оно нечётное.

Вариант 2 (Предполагая, что последняя цифра должна быть чётной, например, 2):

Число: 6□782. Сумма цифр: \( 6 + \text{□} + 7 + 8 + 2 = 23 + \text{□} \)

Чтобы число делилось на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Подбираем цифру для □:

• Если □ = 1, сумма = 24 (делится на 3). Число 61782.
• Если □ = 4, сумма = 27 (делится на 3). Число 64782.
• Если □ = 7, сумма = 30 (делится на 3). Число 67782.

Из предложенных вариантов ответа (2, 4, 6) подходят 4.

Вариант 3 (Если допустить, что ошибка в другом месте, и использовать предложенные варианты):

Рассмотрим варианты ответа:

• a) 2: Число 62781. Сумма цифр = \( 6+2+7+8+1 = 24 \). Число делится на 3. Но оно нечётное, значит, не делится на 2, и на 6 тоже.
• б) 4: Число 64781. Сумма цифр = \( 6+4+7+8+1 = 26 \). Число не делится на 3.
• в) 6: Число 66781. Сумма цифр = \( 6+6+7+8+1 = 28 \). Число не делится на 3.

Вывод: При данных условиях ни один из предложенных вариантов не подходит, так как число 6□781 не делится на 2 (оно нечётное). Если предположить, что в условии опечатка и последняя цифра должна быть, например, 2, то при постановке цифры 4 вместо □ (число 64782) оно будет делиться на 6. Однако, согласно предложенным вариантам и исходному условию, задача не имеет решения.

Если ориентироваться на предложенные варианты ответов и считать, что задача подразумевает делимость на 3 (или, что более вероятно, есть опечатка в условии, и последняя цифра должна быть чётной):

а) 2: Сумма цифр 6+2+7+8+1 = 24. Делится на 3. Но число 62781 нечётное.

б) 4: Сумма цифр 6+4+7+8+1 = 26. Не делится на 3.

в) 6: Сумма цифр 6+6+7+8+1 = 28. Не делится на 3.

Учитывая, что в задаче есть исправления в виде рукописных цифр, и наиболее вероятный вариант, если бы число делилось на 6 (т.е. было бы чётным), то при постановке 4 вместо □ в числе 6□782, сумма цифр была бы 27, что делится на 3.

Исходя из предоставленных вариантов и текста, и предполагая, что задача всё же имеет решение из предложенных вариантов, где основной критерий — делимость на 3 (а делимость на 2 либо упущена, либо в условии опечатка), то вариант 'a) 2' даёт сумму 24, которая делится на 3.

Однако, если задача сформулирована точно, то решения нет. Если предположить, что цифра 1 в конце - опечатка и должна быть 2, то правильный ответ из предложенных - 4.

Принимая во внимание, что это задание из учебника, и предполагается наличие ответа, и если цифра «1» в конце числа действительно должна быть, то задача некорректна. Если же «1» — опечатка и должно быть «2», то ответ «4» подходит.

С учетом того, что в рукописных вариантах ответа есть цифра «4», будем считать, что последняя цифра числа должна быть 2.

Число: 6□782

Сумма цифр: \( 6 + \text{□} + 7 + 8 + 2 = 23 + \text{□} \)

Для делимости на 3, \( 23 + \text{□} \) должно делиться на 3.

Если \( \text{□} = 4 \), то \( 23 + 4 = 27 \), что делится на 3. Число 64782 делится на 6.

Ответ: 4.