4. Камень брошен с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью v = 10м/с. Определите, на какой высоте кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз. Сопротивлением движении пренебречь. Коэффициент g принять равным 10 Н/кг.

Решение:

Начальная кинетическая энергия камня:

\[ E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2} \]

где \( m \) — масса камня, \( v_1 = 10 \text{ м/с} \) — начальная скорость.

Кинетическая энергия на высоте \( h \) будет:

\[ E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2} \]

По условию, \( E_{k2} = \frac{1}{5} E_{k1} \).

Закон сохранения энергии для движения камня:

\[ E_{k1} = E_{k2} + E_p \]

где \( E_p = mgh \) — потенциальная энергия на высоте \( h \), \( g = 10 \text{ Н/кг} \) — ускорение свободного падения.

Подставим \( E_{k2} = \frac{1}{5} E_{k1} \) в уравнение сохранения энергии:

\[ E_{k1} = \frac{1}{5} E_{k1} + mgh \]

Вычтем \( \frac{1}{5} E_{k1} \) из обеих частей:

\[ E_{k1} - \frac{1}{5} E_{k1} = mgh \]

\[ \frac{4}{5} E_{k1} = mgh \]

Подставим выражение для \( E_{k1} \):

\[ \frac{4}{5} \cdot \frac{mv_1^2}{2} = mgh \]

Сократим массу \( m \):

\[ \frac{4}{5} \cdot \frac{v_1^2}{2} = gh \]

Теперь выразим высоту \( h \):

\[ h = \frac{4 v_1^2}{5 \cdot 2g} = \frac{4 v_1^2}{10g} \]

Подставим известные значения \( v_1 = 10 \text{ м/с} \) и \( g = 10 \text{ Н/кг} \):

\[ h = \frac{4 \cdot (10 \text{ м/с})^2}{10 \cdot 10 \text{ Н/кг}} = \frac{4 \cdot 100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{100 \text{ м/с}^2} = \frac{400}{100} \text{ м} = 4 \text{ м} \]

Ответ: 4 м.